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百年南数 | 秦厚荣教授首次发现并建立了同余数和K2群之间的联系

发布人:发布时间: 2021-10-12

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同余数问题是一个有着一千多年历史的数论问题,米尔诺群(K2群)是由著名数学家米尔诺于1970年代定义的新的代数结构,是代数K-理论中的研究课题。最近秦厚荣教授在国际上首次发现同余数和米尔诺群之间有着深刻的联系,并利用二次型在二者之间搭建了一个桥梁,展示了一个崭新的研究领域,并取得了重要的成果,相关论文于顶级数学刊物《Mathematische Annalen》在线发表。


论文链:https://rdcu.be/cyJsR


一个正整数n叫做同余数是说n恰好为某个三边长为有理数的直角三角形的面积。比如,中国西周初年人商高就知道“勾三、股四、弦五”是一个直角三角形,这个直角三角形的面积是6,所以6是一个同余数。法国数学家费马在十七世纪证明了1不是同余数,这项成果也促使费马提出了著名的“费马大定理”。判断一个正整数是不是同余数,一直是数学中一个备受关注同时又十分困难的问题,七个千禧年数学题之一的BSD猜想就和同余数问题紧密相关。我国青年数学家田野教授在同余数研究中取得了十分突出的优秀成果。现代数学揭示了同余数问题和椭圆曲线的L函数的值是联系在一起的,使得这一问题成为代数几何、代数数论、表示论等领域的研究热点。


数学界一直使用1983年发现的Tunnell定理来判别一个正整数是非同余数,该定理是国际著名数学丛书GTM97的中心定理。秦厚荣教授发现了Tunnell定理更为完美的形式。他将Tunnell定理中使用的两个二次型更换为两个在同一亏格中的二次型,使得原来Tunnell定理中数字意义的等式成为数论意义丰富的数学等式。不仅如此,秦厚荣教授创新了权为3/2的模型式的Shimura提升方法,给出了这个定理的全新的完整证明。


秦厚荣教授利用二次型作为桥梁,不仅仅给出了利用米尔诺群研究同余数问题的新技术,在同余数与非同余数同时存在的情形都发展了全新的研究方法,得到了已有研究方法无法给出的全新的结果。研究中秦厚荣教授发现了数论中十分重要的Shafarevich–Tate群的新现象。这些成果在两个看似不相干的领域之间第一次建立起了联系,为数论研究提供了新的研究课题。秦厚荣教授2017年起先后在中国的多个大学以及美国、法国、澳大利亚等多国的国际会议上应邀报告相关研究成果,受到高度评价。有学者认为,这是应该写进教科书的成果。


《Mathematische Annalen》是一份有150多年历史的顶级数学刊物,许多著名数学家曾担任该刊的主编,并将自己最重要的成果发表于此。如著名数学家克莱因、希尔伯特曾先后担任该刊主编,两人在《Mathematische Annalen》发表超过一百篇论文,著名物理学家爱因斯坦也曾担任编委并在该刊发表两篇重要的论文。1937-1939年间,囯立中央大学(后更名为南京大学)数学系教授、国际数学大师周炜良在该刊连续发表五篇重量级论文,定义了“周坐标”,推广了黎曼-洛赫定理。数学史上著名的关于公理主义与直觉主义的争端“希尔伯特-布劳威尔之战”亦发生于此,这也为这份刊物增添了一份传奇色彩。

(图为秦厚荣教授)


今年是南京大学数学系建系100周年,数学系的师生和广大系友纷纷以各种方式加以纪念,秦厚荣教授是数学系系主任,也是92届博士系友,他表示,该论文正值此时在线刊出,既是自己对数学系百年华诞的一份心意,更蕴含着对母系下一个百年的美好祝福和殷切期盼。